Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

2n

n-1

a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=

an

n

+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n为{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=

bn

(bn-1)2

，数列{c_n}前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由b_n=

an

n

+λ为等比数列，及a_n=

2n

n-1

a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）可求得λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）求得{a_n}的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和，
（Ⅲ）把数列{b_n}的通项公式代入c_n=

bn

(bn-1)2

中，放缩法证明都有T_n＜3．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，an=

2n

n-1

an-1+n，
∴

an

n

=2

an-1

n-1

+1，即

an

n

+1=2(

an-1

n-1

+1)，故λ=1时
有b_n=2b_n-1，而b1=

a1

1

+1=2≠0
b_n=2•2^n-1=2ⁿ，从而a_n=n•2ⁿ-n
（Ⅱ）S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ-（1+2+…+n）
记R_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
则2R_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ+1
相减得：-R_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-

n2+n-4

2

（Ⅲ）cn=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1)(2n-2)2

=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)2

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

(n≥2)
n≥2时，Tn＜

21

21-1

+

1

2-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1-1

-

1

2n-1

(n≥2)

=2+1-

1

2n-1

＜3
而T₁=

2

2-1

=2＜3
∵?n∈N^*，7_n＜3．

点评：考查等比数列的定义和通项公式的求法，利用分组求和和错位相减法求和以及利用放缩法把不能求和的数列问题转化为可求和的数列问题，及裂项相消法求和，体现了转化的思想，此题运算量大，放缩法技巧性强，加大了试题的难度，属难题．