Question

记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记

D1P

D1B

=λ．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为（　　）

• A．（0，1）
• B．(

  1

  3

  ，1)
• C．(0，

  1

  3

  )
• D．（1，3）

Answer 1

分析：由∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于∠APC为钝角等价于

PA

•

PC

＜0，用关于λ的字母表示

PA

•

PC

＜0，根据向量数量积的坐标运算即可．

解答：解：由题设可知，以

DA

、

DC

、

DD1

为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由

D1B

=（1，1，-1），得

D1P

=λ

D1B

=（λ，λ，-λ），
所以

PA

=

PD1

+

D1A

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），

PC

=

PD1

+

D1C

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
因为∠APC不是平角，
所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

| PA |•| PC |

＜0，
则等价于

PA

•

PC

＜0
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

1

3

＜λ＜1
因此，λ的取值范围是（

1

3

，1）．
故选B．

点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．