Question

记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记

D1P

D1B

=λ．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

| PA |•| PC |

＜0，即

PA

•

PC

＜0，再将

PA

，

PC

用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可

解答：解：由题设可知，以

DA

、

DC

、

DD1

为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由

D1B

=(1，1，-1)，得

D1P

=λ

D1B

=(λ，λ，-λ)，所以

PA

=

PD1

+

D1A

=(-λ，-λ，λ)+(1，0，-1)=(1-λ，-λ，λ-1)

PC

=

PD1

+

D1C

=(-λ，-λ，λ)+(0，1，-1)=(-λ，1-λ，λ-1)
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

| PA |•| PC |

＜0，则等价于

PA

•

PC

＜0
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

1

3

＜λ＜1
因此，λ的取值范围是(

1

3

，1)

点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．