Question

12．对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，（a＜b）\\ b．（a≥b）\end{array}\right.$；max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，（a≥b）\\ b．（a＜b）\end{array}\right.$．则下列各式中恒成立的个数为（　　）
①min{a，b}+max{a，b}=a+b
②min{a，b}-max{a，b}=a-b
③（min{a，b}）•（max{a，b}）=a•b
④（min{a，b}）÷（max{a，b}）=a÷b．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 本题根据函数的定义，分类研究a，b的大小，可得到取小函数与取大函数min{a，b}，max{a，b}的值，从而得到本题结论．

解答 解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，（a＜b）\\ b．（a≥b）\end{array}\right.$；max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，（a≥b）\\ b．（a＜b）\end{array}\right.$，
∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．
∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，
∴min{a，b}+max{a，b}=a+b，
（min{a，b}）•（max{a，b}）=a•b，
故①③成立；
若a≤b，则有：min{a，b}-max{a，b}=a-b，
若a＞b，则min{a，b}-max{a，b}=b-a≠a-b，
故③不一定成立；
若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）=a÷b，
若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）=b÷a≠a÷b．
故④不一定成立．
故选B．

点评 本题考查了新定义函数的理解和分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．