Question

17．等差数列{a_n}的前n项和为s_n，已知（a₂-1）³+（a₂-1）=sin$\frac{π}{3}$，（a₂₀₁₅-1）³+（a₂₀₁₅-1）=cos$\frac{5π}{6}$，则s₂₀₁₆=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． $2015\sqrt{3}$
• D． $2016\sqrt{3}$

Answer 1

分析 已知两个等式相加因式分解即可得到a₂+a₂₀₁₅的值，利用等差数列的性质及数列的前n项和公式可得．

解答 解：∵（a₂-1）³+（a₂-1）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ①
（a₂₀₁₅-1）³+（a₂₀₁₅-1）=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$  ②
①+②得（a₂-1）³+（a₂-1）+（a₂₀₁₅-1）³+（a₂₀₁₅-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₅-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（（a₂₀₁₅-1）+（a₂₀₁₅-1）²]+（a₂-1+a₂₀₁₅-1）=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₅-1=0，即a₂+a₂₀₁₅=2，
∴S₂₀₁₆=$\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=1008（a₂+a₂₀₁₅）=1008×2=2016，
故选：B．

点评 本题考查等差数列的前n项和，根据条件求出a₂+a₂₀₁₅=2是解决本题的关键，属中档题．