Question

15．已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，O为坐标原点，A、B分别为椭圆上两点，且OA⊥OB，则$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 方法一由OA⊥OB，则x₁•x₂+y₁•y₂=0，设AB方程：y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及直线方程求得x₁•x₂及y₁•y₂，代入可得$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，由点到直线的距离公式d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，因此$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{丨OA{丨}^{2}+丨OB{丨}^{2}}{丨{OA丨}^{2}•丨OB{丨}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•{d}^{2}}$=$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{3}{2}$；
方法二，建立极坐标系，将椭圆方程转化成极坐标方程，由题意可知：A（ρ₁，α），B（ρ₂，α+$\frac{π}{2}$），代入椭圆方程，由∴$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}α}{2}+si{n}^{2}α$+$\frac{co{s}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$+sin²（α+$\frac{π}{2}$），根据诱导公式及同角三角函数基本关系，即可求得$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值

解答 解：方法一，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁•x₂+y₁•y₂=0
设AB方程：y=kx+m代入椭圆：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²，
化简得：3m²=2（1+k²）
∴$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴点O到直线AB的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{丨OA{丨}^{2}+丨OB{丨}^{2}}{丨{OA丨}^{2}•丨OB{丨}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•{d}^{2}}$=$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
方法二，以O为极点，Ox为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，
则x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，可得：$\frac{1}{{ρ}^{2}}=\frac{co{s}^{2}θ}{2}+si{n}^{2}θ$，
∵OA⊥OB，
设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α+$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}α}{2}+si{n}^{2}α$+$\frac{co{s}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$+sin²（α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标表示，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．