Question

9．向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，$M=\frac{|a|}{|b|}+\frac{|b|}{|c|}+\frac{|c|}{|a|}$，则M=（　　）

• A． 3
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，然后以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，而根据条件便可得到AB⊥OC，OA⊥OB，从而得到四边形OACB为正方形，可设该正方形的边长为1，从而可以得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}$，这样便可求出M的值．

解答 解：根据条件，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
以OA，OB为邻边作矩形OACB，则$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{c}$，如图所示，连接OC，AB，则：
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{c}$；
∴$\overrightarrow{BA}⊥\overrightarrow{OC}$；
即BA⊥OC；
∴矩形OACB为正方形，设边长为1，则：
$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1，|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}+\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{c}|}+\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选D．

点评 考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，清楚正方形的对角线互相垂直，以及数形结合解题的方法．