Question

已知B₁（0，1），B₂（0，-1），M（1，0），动点P（x，y）满足直线PB₁，PB₂的斜率之积为-

1

4

．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的左，右两个交点分别为A₁，A₂，过点M作直线l和轨迹C分别交于点D₁，D₂．
（ⅰ）求证：直线A₁D₁，A₁D₂的斜率之积为定值；
（ⅱ）设直线A₁D₁，A₂D₂的交点为S，求证：点S在定直线上，并求出该定直线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据斜率公式，利用动点P（x，y）满足直线PB₁，PB₂的斜率之积为-

1

4

，可得点P的轨迹C的方程；
（2）（ⅰ）设出直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出相应的斜率，即可证得结论；
（ⅱ）求出直线A₁D₁，A₂D₂的方程，令函数值相等，即可证得点S在定直线上，并求出该定直线的方程．

解答：（1）解：由题意，

y-1

x

×

y+1

x

=-

1

4

，即

x2

4

+y2=1（x≠0）
∴点P的轨迹C的方程是

x2

4

+y2=1（x≠0）；
（2）证明：（ⅰ）由题意，A₁（-2，0），A₂（2，0），
设l方程为x=my+1，代入

x2

4

+y2=1，整理可得（m²+4）y²+2my-3=0
设D₁（x₁，y₁），D₂（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

∴x₁+x₂=

8

m2+4

，x₁x₂=-

4m2-4

m2+4

∴直线A₁D₁，A₁D₂的斜率之积为

y1

x1+2

×

y2

x2+2

=

y1y2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

- 3 m2+4

- 4m2-4 m2+4 + 16 m2+4 +4

=-

1

12

；
（ⅱ）由（ⅰ）知，y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

直线A₁D₁的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，直线A₂D₂的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)
下面求直线A₁D₁，A₂D₂的交点S的横坐标
令

y1

x1+2

(x+2)=

y2

x2-2

(x-2)，则

x+2

x-2

=

y2

x2-2

×

x1+2

y1

=

my1y2+3y2

my1y2-y1

=3
∴x=4，即点S在定直线上，该定直线的方程为x=4．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．