Question

等比数列{a_n}中，已知a₂=2，a₅=16
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）若等差数列{b_n}，b₁=a₅，b₈=a₂，求数列{b_n}前n项和S_n，并求S_n最大值．

Answer 1

解：（1）由 a₂=2，a₅=16，得q=2，解得 a₁=1，从而a_n=2^n-1．…（6分）
（2）由已知得等差数列{b_n}，b₁=a₅ =16，b₈=a₂=2，设公差为d，则有b₈-b₁=7d，
即 2-16=7d，解得d=-2．
故数列{b_n}前n项和S_n =n×16+=17n-n²． …（10分）
由于二次函数S_n 的对称轴为n=，n∈z，且对应的图象开口向下，…（12分）
∴当n=8 或9时，S_n有最大值为 72． …（14分）
分析：（1）由 a₂=2，a₅=16，得q=2，解得 a₁=1，从而得到通项公式．
（2）根据 b₈-b₁=7d 求出d=-2，再求出数列{b_n}前n项和S_n =17n-n²．利用二次函数的性质可得当n=8 或9时，S_n有最大值．
点评：本题主要考查等等比数列的通项公式，等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题．