Question

下列四个命题中的假命题是

1. A.
   存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
2. B.
   不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
3. C.
   对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
4. D.
   不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ

Answer 1

B
分析：对A，由两角和的余弦定理可知存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，即可判断；
对B，由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ-sinαsinβ，得sinαsinβ=0．∴α=kπ或β=kπ（k∈Z），即可判断；
对C，对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，即可得出答案；
对D，不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ，即可判断真假；
解答：对A，由两角和的余弦定理可知存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，故本选项为真命题；
对B，由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ-sinαsinβ，得sinαsinβ=0．∴α=kπ或β=kπ（k∈Z），故本选项为假命题．
对C，对于任意的α、β，由两角和的余弦公式可得：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，故本选项为真命题；
对D，不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ，若存在α，β，则与两角和的余弦公式矛盾，故本选项为真命题；
故选B．
点评：本题考查了四种命题的真假关系及两角和与差的余弦函数，属于基础题，关键是掌握两角和的余弦函数公式．