Question

若椭圆x²+4（y-a）²=4与抛物线x²=2y有公共点，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

-1≤a≤
分析：联立方程，将椭圆x²+4（y-a）²=4与抛物线x²=2y有公共点，转化为方程2y²-（4a-1）y+2a²-2=0至少有一个非负根，求出两根皆负时，实数a的取值范围，即可求得结论．
解答：椭圆x²+4（y-a）²=4与抛物线x²=2y联立可得2y=4-4（y-a）²，
∴2y²-（4a-1）y+2a²-2=0．
∵椭圆x²+4（y-a）²=4与抛物线x²=2y有公共点，
∴方程2y²-（4a-1）y+2a²-2=0至少有一个非负根．
∴△=（4a-1）²-16（a²-1）=-8a+17≥0，∴a≤．
又∵两根皆负时，由韦达定理可得2a²＞2，4a-1＜0，∴-1＜a＜1且a＜，即a＜-1．
∴方程2y²-（4a-1）y+2a²-2=0至少有一个非负根时，-1≤a≤
故答案为：-1≤a≤
点评：本题考查椭圆与抛物线的位置关系，考查学生分析转化问题的能力，考查计算能力，正确合理转化是关键．