Question

已知数列{a_n} 是通项a_n和公差都不为零的等差数列，设S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，则S_n=（　　）

• A．

  n

  a1an+1

• B．

  n

  a1an

• C．

  n-1

  a1an

• D．

  n-1

  a1an+1

Answer 1

分析：由等差数列的通项公式可得a_n+1-a_n=d，可得

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)，从而可得S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)

解答：解：∵

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)
∴S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，
=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)
=

1

d

×

an+1-a1

a1an+1

=

nd

da1an+1

=

n

a1an+1

故选：A

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，数列求和的裂项求和方法的应用，要注意本题裂项时要乘以

1

d

是解题中容易漏掉的，这也是本题的解题关键与易错点．