Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BB₁中点，N是AB中点．
求证：直线C₁M、DN、BC三线共点．

Answer 1

分析：先证四边形NMC₁D为梯形，再证P∈平面ABCD，P∈平面BCC₁D₁，平面ABCD∩平面BCC₁D₁=BC，根据公理2可证P∈BC．

解答：证明：连接MN、C₁D、AB₁，∵AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁，
∴四边形AB₁C₁D为平行四边形，
∴AB₁∥C₁D，
∵M是BB₁中点，N是AB中点．
∴MN∥AB₁，且MN=

1

2

CD₁，
∴四边形NMC₁D为梯形，
令DN∩C₁M=P，
∵P∈DN．DN?平面ABCD，P∈平面ABCD，
同理P∈平面BCC₁D₁，
平面ABCD∩平面BCC₁D₁=BC，
∴P∈BC，
∴直线C₁M、DN、BC三线共点．

点评：本题考查了线共点问题，利用公理2，可证明点在线上，即两平面的公共点一定在两平面的交线上．