Question

已知双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），它的左、右焦点分别F₁，F₂，左右顶点为A₁，A₂，过焦点F₂先作其渐近线的垂线，垂足为P，再作与x轴垂直的直线与曲线C交于点Q，R，若|PF₂|，|A₁A₂|，|QF₁|依次成等差数列，则离心率e=（　　）

• A、

  2

• B、

  5

• C、

  2

  或

  5

• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件推导出|F₂P|=b，|QF₁|=2a+

b2

a

，|A₁A₂|=2a，由|PF₂|，|A₁A₂|，|QF₁|依次成等差数列，知b，2a，2a+

b2

a

依次成等差数列，由此能求出离心率e．

解答： 解：由题设知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线方程为
l：y=

b

a

x，
∵右焦点F（c，0），∴F₂P⊥l，
∴|F₂P|=

|bc-0|

a2+b2

=

|bc-0|

c

=b，
∵F₂Q⊥x轴，

c2

a2

-

|F2Q|2

b2

=1，解得|F₂Q|=

b2

a

，
∴|QF₁|=2a+

b2

a

，
∵|A₁A₂|=2a，若|PF₂|，|A₁A₂|，|QF₁|依次成等差数列，
∴b，2a，2a+

b2

a

依次成等差数列，
∴4a=b+2a+

b2

a

，
∴2=

c2-a2

a

+

c2-a2

a2

，即

e2-1

+e²=3，
解得e=

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的灵活运用．