Question

(湖南长郡中学模拟)如下图，以、为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、、，连接与OB交于点H，且有，其中，，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距．

(1)当c=1时，求双曲线E的方程；

(2)试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

(3)连接，与双曲线E交于点F，是否存在实数λ，使恒成立?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由c=1知B(0，1)， ，即，点C在单位圆上，． 设双曲线E的方程为 ． 由点C在双曲线E上，半焦距c=1有解得 所以双曲线E的方程为 ．　　　　(3分) (2)证明：， 由，得， ；设双曲线E的方程为 ． ①代入②，化简整理得 ， ， 解得． 又． ，即双曲线E的离心率是与c无关的常数．　　　　(8分) (3)假设存在实数λ，使恒成立，． 有，点，故有 由③得　　　⑤ 将⑤代入④得， 化简整理得， 即，利用(2)小题的结论得． 故存在实数，使恒成立．　　　　(13分)