Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^-x（a≠0）的图象过点（0，-2），且在该点的切线方程为4x-y-2=0．
（Ⅰ）若f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m恰好有一个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2…（1分）
求导函数可得f′（x）=（-ax²+2ax-bx+b-c）e^-x，∴f′（0）=（b-c）e⁰=b-c
∵切线方程为4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2…（3分）
∴f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
∵f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，
∴（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立
即-ax-2≥0，∴a≤-，∴a≤-1 …（5分）
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-m恰好有一个零点，即y=m和y=f（x）恰好有一个交点
∵f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，

①当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-），（2，+∞）单调递减，在上单调递增，极大值为f（2）=（4a+2）e^-2，极小值为f（）=-2，（当x趋向于+∞时图象在x轴上方，并且无限接近于x轴）
所以m=或m＞（4a+2）e^-2，…（8分）
②当a＜0时：（ⅰ）当＞2，即-1＜a＜0时，f（x）在区间（-∞，2），（，+∞）单调递增，在（2，）上单调递减，极大值f（2）=（4a+2）e^-2，极小值为f（）=-2，（当x趋向于+∞时图象在x轴下方，并且无限接近于x轴）
当（4a+2）e^-2≥0，即时，m=（4a+2）e^-2或m＜
当（4a+2）e^-2＜0，即-1＜a＜时，（4a+2）e^-2＜m＜0或m＜…（11分）
（ⅱ）当2时，即a＜-1 时，f（x）在区间（-∞，），（2，+∞）单调递增，在（，2）上单调递减，极小值为f（2）=（4a+2）e^-2，极大值为f（）=-2，（当x趋向于+∞时图象在x轴下方，并且无限接近于x轴）
∴m=或m＜（4a+2）e^-2，…（13分）
（ⅲ）=2时，即a=-1时，f（x）在R上单调增（当x趋向于+∞时图象在x轴下方，并且无限接近于x轴），此时m＜0 …（14分）
分析：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c的值，求导函数，利用切线方程可得b=的值，根据f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，可得（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立，由此可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-m恰好有一个零点，即y=m和y=f（x）恰好有一个交点，求导函数，再进行分类讨论：①当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-），（2，+∞）单调递减，在上单调递增；②当a＜0时：（ⅰ）当＞2，即-1＜a＜0时，f（x）在区间（-∞，2），（，+∞）单调递增，在（2，）上单调递减；（ⅱ）当2时，即a＜-1 时，f（x）在区间（-∞，），（2，+∞）单调递增，在（，2）上单调递减；（ⅲ）=2时，即a=-1时，f（x）在R上单调增，从而可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．