Question

（12分）已知函数，曲线过点P（－1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求该函数的单调区间和极值。
③若函数在上是增函数，求m的取值范围.

Answer 1

解：①  a=1，b=3②函数的递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间是（-2,0），
极大值是f（-2）=4，极小值是f（0）=0.③ m≤-3，或m≥0.

试题分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间
（3）在上一问的基础上，据题意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．
解：① 因为，所以，
   根据题意得   -a+b=2    ，得 a=1，b=3
3a-2b=-3
② ，
当＞0时，解得  x＜-2，或x＞0；
当＜0时，解得   -2＜x＜0.
因此，该函数的递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间是（-2,0），
极大值是f（-2）=4，极小值是f（0）=0.
③ 根据题意m+1≤-2，或m≥0，解得m≤-3，或m≥0.
点评：解决该试题注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为-1。