Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA₁=3，点E，F分别在棱BB₁，CC₁上，且C₁F=

1

3

C₁C，BE=λBB₁，0＜λ＜1．
（1）当λ=

1

3

时，求异面直线AE与A₁F所成角的大小；
（2）当直线AA₁与平面AEF所成角的正弦值为

2 29

29

时，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
（1）推出相关点的坐标，求出向量

AE

和

A1F

对应的向量，利用向量的数量积求出夹角即可．
（2）求出平面AEF的法向量，

AA1

=(0，0，3)，利用向量的数量积求解直线AA₁与平面AEF所成角的正弦值为

2 29

29

，得到λ=

1

2

．

解答： 解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
（1）因为AB=AC=1，AA₁=3，λ=

1

3

，
所以各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），A₁（0，0，3），
F（0，1，2）．

AE

=(1，0，1)，

A1F

=(0，1，-1)．                                …（2分）
因为|

AE

|=|

A1F

|=

2

，

AE

•

A1F

=-1，
所以cos?

AE

，

A1F

＞=

AE • A1F

| AE || A1F |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

．所以向量

AE

和

A1F

所成的角为120°，
所以异面直线AE与A₁F所成角为60°．                       …（4分）
（2）因为E（1，0，3λ），F（0，1，2），所以

AE

=(1，0，3λ)，

AF

=(0，1，2)．
设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），
则

n

•

AE

=0，且

n

•

AF

=0．
即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，则x=-3λ，y=-2．
所以

n

=（-3λ，-2，1）是平面AEF的一个法向量． …（6分）
又

AA1

=(0，0，3)，则cos＜

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n || AA1 |

=

3

3 9λ2+5

=

1

9λ2+5

，
又因为直线AA₁与平面AEF所成角的正弦值为

2 29

29

，
所以

1

9λ2+5

=

2 29

29

，解得，λ=

1

2

．        …（10分）

点评：本题考查直线与平面所成角，异面直线所成角的求法，考查计算能力．