Question

已知函数f(x)＝(1＋)sin²x＋sin(x＋)sin(x－)．
(1)当＝0时，求f(x)在区间[，]上的取值范围；
(2)当tan＝2时，f()＝，求的值．

Answer 1

（1）[0，]；（2）-2.

本试题主要考查了三角函数的性质和三角方程的求解的综合运用。
解： (1)当m＝0时，f(x)＝sin²x＋sinxcosx＝(sin2x－cos2x)＋
＝sin(2x－)＋，……………………(3分)
又由x∈[，]得2x－∈[0，]，所以sin(2x－)∈[－，1]，
从而f(x)＝sin(2x－)＋∈[0，]．……………………(6分)
(2)f(x)＝sin²x＋sinxcosx－cos2x＝＋sin2x－cos2x
＝ [sin2x－(1＋m)cos2x]＋，………………………………(8分)
由tanα＝2得sin2α＝＝＝，
cos2α＝＝＝－，……………………(10分)
所以f(α)＝＝ [＋(1＋m)]＋，得m＝－2.………………(12分)