Question

[x]表示不超过x的整数部分，如[2]=2，[3.1]=3，[-2.7]=-3设f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

(x∈R)，则y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为（　　）

A、{0}

B、{-1，0，1}

C、{-1，0}

D、{-2，0}

Answer 1

分析：函数f（x）的定义域为实数集，运用函数的单调性分x∈（-∞，0），x=0，x∈（0，+∞）三段求出函数f（x）的取值范围；在求出f（-x）的解析式后，同样分x∈（-∞，0），x=0，x∈（0，+∞）三段求出函数f（-x）的取值范围，最后借助于新定义求解y=[f（x）]+[f（-x）]的值域．

解答：解：∵1+2^x＞2^x，∴0＜

2x

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

2x

1+2x

-

1

2

＜

1

2

又f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

在（-∞，+∞）上为增函数，且当x=0时，f（0）=0，
∴x∈（-∞，0）时，f（x）∈（-

1

2

，0），[f（x）]=-1．
x=0时f（0）=0．
x∈（0，+∞）时，f（x）∈（0，

1

2

），[f（x）]=0．
f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

∵1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

令g（x）=f（-x），
又g（x）=f(-x)=

1

1+2x

-

1

2

在（-∞，+∞）上为减函数，且当x=0时，g（0）=0，
∴x∈（-∞，0）时，g（x）=f（-x）∈（0，

1

2

），[f（-x）]=0．
x=0时g（0）=f（0）=0．
x∈（0，+∞）时，g（x）=f（-x）∈（-

1

2

，0），[f（-x）]=-1．
综上，x∈（-∞，0）时，y=[f（x）]+[f（-x）]=-1+0=0
x=0时，y=[f（x）]+[f（-x）]=0+0=0
x∈（0，+∞）时，y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1
所以y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为{-1，0}．
故选C．

点评：本题是新定义题，考查了分段函数值域的求法，解答此题的关键是正确分段并借助两个函数的单调性求其在各段内的范围，此题是中档题，也是易错题．