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已知:函数f(x)=[x[x]](x∈R),其中[x]表示不超过x的最大整数.
如[-2.1]=-3,[-3]=-3,[2.5]=2.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若x∈[-2,3],求f(x)的值域;
(3)若x∈[0,n](n∈N*),f(x)的值域为An,现将An,中的元素的个数记为an.试求an+1与an的关系,并进一步求出an的表达式.
(1)∵f(
3
2
)=[
3
2
[
3
2
]]=[
3
2
•1]=[
3
2
]=1,
f(-
3
2
)=[-
3
2
[-
3
2
]]=[-
3
2
•(-2)]=[3]=3,
∴f(-
3
2
)≠f(
3
2
),f(-
3
2
)≠-f(
3
2
),故f(x)为非奇非偶函数.(4分)
(2)当-2≤x<-1时,[x]=-2,则2<x[x]≤4,∴f(x)可取2,3,4;
当-1≤x<0时,[x]=-1,则0<x[x]≤1,∴f(x)可取0,1;
当0≤x<1时,[x]=0,则x[x]=0,∴f(x)=0;
当1≤x<2时,[x]=1,则1≤x[x]<2,∴f(x)=1;
当2≤x<3时,[x]=2,则4≤x[x]<6,∴f(x)可取4,5;
又f(3)=[3[3]]=9,
故所求f(x)的值域为{0,1,2,3,4,5,9},(9分)
(3)当n<x<n+1时,[x]=n,则 n2<x[x]<n(n+1),
故f(x)可取n2,n2+1,n2+2,…,n2+n-1,
当x=n+1时,f(n+1)=(n+1)2
又当x∈[0,n]时,显然有f(x)≤n2
因此,可得an+1=an+n,又由(2)知,a1=2,
∴an=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)+a1
=(2-1)+(3-1)+(4-1)+1…+(n-1)+2
=
(n-1)(1+n-1)
2
+2
=
n2-n+4
2
(14分)
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π2
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1
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2
2
)
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