Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

Answer 1

分析：（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，利用已知表达式求出f（-x），再由奇函数的性质可求f（x），f（0）=0，从而可得f（x）的解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，比较f（x₂）与f（x₁）的大小，若f（x₂）＞f（x₁），则为增函数，若f（x₂）＜f（x₁），则为减函数．

解答：解：（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故f(-x)=

2-x

2-x+1

=

1

2x+1

，
又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-

1

2x+1

，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=

2x 2x+1 ，0＜x＜1 0，x=0 - 1 1+2x ，-1＜x＜0

．
（2）解：f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=

2x2

1+2x2

-

2x1

1+2x1

=

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，
所以2x2-2x1＞0，
因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，1）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，定义是解决有关问题的基本方法．