Question

已知：函数f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）①证明：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
②求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；
（2）设函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①利用（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³可证；
②令f′（x）=3x²-12x+3=0，设其两根为（x₁，x₂）（x₁＜x₂），利用韦达定理可得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，进而可求x₂-x₁，y₁-y₂，故可求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离
（2）求导函数，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，所以x³-3x²-9x+t+3=0有三个不等根，构造函数h（x）=x³-3x²-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减，从而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范围．

解答：（1）①证明：∵（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³
∴a³-b³=（a-b）³+3a²b-3ab²=（a-b）[（a-b）²+3ab]=（a-b）（a²+ab+b²）
②解：令f′（x）=3x²-12x+3=0，设其两根为（x₁，x₂）（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1
∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

设两个极值点所对应的图象上两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则y1-y2=

x

3 1

-6

x

2 1

+3x1+t-(

x

3 2

-6

x

2 2

+3x2+t)
=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2-6(x1+x2)+3]=12

3

∴函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离为

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=2

111

（2）解：f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有三个不同的极值点
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个不等根；
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，则h′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵h（x）有三个零点
∴h（-1）＞0，h（3）＜0
∴t+8＞0，t-24＜0
∴-8＜t＜24

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调性，考查函数的极值，解题的关键是将函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，转化为x³-3x²-9x+t+3=0有三个不等根．