Question

15．已知奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为（　　）

• A． {x|-2＜x＜0或x＞2}
• B． {x|x＜-2或0＜x＜2}
• C． {x|x＜-2或x＞2}
• D． {x|-2＜x＜0或0＜x＜2}

Answer 1

分析 根据函数为奇函数求出f（-2）=0，再将不等式x[f（x）-f（-x）]＜0即xf（x）＜0分成两类，利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，在（-∞，0）内是增函数
∴x[f（x）-f（-x）]＜0即xf（x）＜0可化为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-2）}\end{array}\right.$．
根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数
解得：-2＜x＜0或0＜x＜2．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于中档题．