Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足

FA

+

FB

+

FC

=

0

，|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，则抛物线的方程为

 

．

Answer 1

分析：设向量

FA

，

FB

，

FC

的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃）则可知x₁+x₂+x₃=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，求得p，则抛物线方程可得．

解答：解：设向量

FA

，

FB

，

FC

的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃）由

FA

+

FB

+

FC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0
∵X_A=x₁+

p

2

，同理X_B=x₂+

p

2

，X_C=x₃+

p

2

∴|FA|=x₁+

p

2

+

p

2

=x₁+p，同理有|FB|=x₂+

p

2

+

p

2

=x₂+p，|FC|=x₃+

p

2

+

p

2

=x₃+p，
又|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，
∴x₁+x₂+x₃+3p=6，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．