Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）因为所以要证平面，即证平面，转证（2）以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点，连接，所以.

因为，所以四边形为平行四边形，

所以，且.又，，

所以，

所以，所以.

又因为，，所以平面.

又因为，所以平面.

（2）由（1）知平面，过点作交于点，

故以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则,，，，

所以，，.，

设平面的法向量为，

由，得，

取，得平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

由，得，

取，得平面的一个法向量为，

所以.

因为二面角是一个锐二面角，所以余弦值为.