Question

2．（1）已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|，g（a）=4a-a²，使不等式f（x）＞g（a）对?a∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由绝对值的意义可得|x-3|+|x-1|的最小值为4，由题意可得 2＞4a-a²，由此解得实数a的取值范围．
（2）考查柯西不等式，由柯西不等式得：（1+2+3）（a+b+c）≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$^_）2即可

解答 解：由于|x-3|+|x-1|表示数轴上的x对应点到3和1对应点的距离之和，其最小值等于2，
故由不等式f（x）＞g（a）对?a∈R恒成立，可得 2＞-a²+4a，解得 a$＞2+\sqrt{2}$或a$＜2-\sqrt{2}$，
故实数a的取值范围是：a$＞2+\sqrt{2}$或a$＜2-\sqrt{2}$，
（2）解：由柯西不等式得：（1+2+3）（a+b+c）≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$^）2
⇒$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$≤$\sqrt{6}$，
∵$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$的最大值为$\sqrt{6}$，

点评 本题主要考查绝对值的意义，一元二次不等式的解法，考查柯西不等式在恒成立问题中的利用，属于中档题．