Question

【题目】已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间.

Answer 1

【答案】(1) 详见解析;(2) [kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z.

【解析】试题分析:(1)根据正弦函数的性质求出函数的定义域,再根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简,得到函数的最小正周期;(2)由正弦函数的单调区间求解即可.

试题解析:

(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．

∴f(x)＝

＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1

＝sin(2x－)－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z.

点睛:本题考查三角函数的图象与性质,以及同角三角函数的基本关系,属于中档题目.三角函数的化简往往利用诱导公式,两角和与差的公式以及二倍角公式化为函数形式,再根据正弦函数的有界性,单调区间,周期性和对称性等求解.