Question

【题目】已知函数.

⑴讨论函数的单调性；

⑵若存在两个极值点，且是函数的极小值点，求证：.

Answer 1

【答案】⑴当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；⑵证明见解析.

【解析】

试题分析：⑴求导，在对导函数分析可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；⑵化简

，由函数存在两个极值点（）是方程的两根

，，且，由

，设，利用导数工具可得

.

试题解析： 函数的定义域为，

⑴，

当，恒成立，∴函数在上单调递增；

当时，令，得或（不合题意，舍去），

则当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增.…………5分

⑵∵，∴，

∵函数存在两个极值点，设两个极值点为，

∴是方程的两根，∴，，且，

∵函数开口向上，与轴交于两点，是函数的极小值点，

∴，从而，

由，得，，，

设，

∵，∴在上递增，

∴，∴.……………………………………12分