Question

【题目】设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．

（Ⅰ）求证：a＝2b；

（Ⅱ）PQ是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

(1)利用向量共线的充要条件计算可得a＝2b；

(2)利用(1)中的结论联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系计算可得椭圆E的方程是．

试题解析：

（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），，所以，

∴，解得a＝2b，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x2＋4y2＝4b2（1）

依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．

由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，

代入（1）得：

（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，

由得，解得．

从而x1x2＝8－2b2．

于是

解得b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．