Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若${S_n}={n^2}$，数列$\left\{{\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n=（　　）

• A． $\frac{n}{2n+1}$
• B． $\frac{2n+2}{2n+1}$
• C． $\frac{2n}{2n+1}$
• D． $\frac{2n}{2n-1}$

Answer 1

分析 推导出a_n=2n-1，从而$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，由此利用裂项求和法能求出数列$\left\{{\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，${S_n}={n^2}$，
∴${a}_{1}={{S}_{1}}^{2}$=1²=1，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1，
∴$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴数列$\left\{{\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和：
T_n=1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．