Question

1．已知函数$f（x）=Acos（x+\frac{π}{6}）$，x∈R，且$f（\frac{π}{12}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，$f（α+\frac{π}{3}）$=-$\frac{24}{13}$，$f（β-\frac{π}{6}）=\frac{8}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$f（\frac{π}{12}）=\sqrt{2}$代入计算，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（Ⅱ）由$f（α+\frac{π}{3}）$=-$\frac{24}{13}$，利用诱导公式可求sin α=$\frac{12}{13}$，又α∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用同角三角函数基本关系式可求
cos α，由$f（β-\frac{π}{6}）$=$\frac{8}{5}$，得$cosβ=\frac{4}{5}$，结合范围β∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用同角三角函数基本关系式可求$sinβ=\frac{3}{5}$，
利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为$f（\frac{π}{12}）=Acos（\frac{π}{12}+\frac{π}{6}）=Acos\frac{π}{4}=\sqrt{2}$，
所以A=2．…（4分）
（Ⅱ）由$f（α+\frac{π}{3}）$=2cos（α+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sin α=-$\frac{24}{13}$，得sin α=$\frac{12}{13}$，
又α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以cos α=$\frac{5}{13}$．…（8分）
由$f（β-\frac{π}{6}）$=2cos（β-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2cos β=$\frac{8}{5}$，得$cosβ=\frac{4}{5}$，
又β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以$sinβ=\frac{3}{5}$．…（10分）
所以cos（α+β）=cosαcos β-sinαsinβ=$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{16}{65}$．…（12分）

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．