Question

已知f（x）=ln（x+1），g（x）=

1

2

ax²+bx．
（1）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若a=0，b=1时，求证f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）成立．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，问题等价于h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）有解，分离参数求出函数的最小值即可；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，求出h（x）的表达式，求出导数，求得h（x）的最大值即可得证．

解答： （1）解：∵函数h（x）=lnx-

1

2

ax²-2x的定义域为（0，+∞），
且函数h（x）存在单调递减区间，
∴h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）有解，
即-ax²-2x+1＜0在（0，+∞）有解，
故a＞

1

x2

-

2

x

=（

1

x

-1）²-1在（0，+∞）有解，
∴a＞-1，
故a的范围为（-1，+∞）．
（2）证明：若a=0，b=1时，令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
则h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
则x=0为极大值点，也为最大值点，
故最大值为h（0）=0，
故h（x）≤h（0）．
即有f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）成立．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，注意存在与恒成立的区别，属于中档题．