Question

1．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；
（按这个月总共30天计算）
（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，从而求出该样本中空气质量优良的频率，由此能估计该月空气质量优良的天数．
（2）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出结果．

解答 解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，
空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
从而估计该月空气质量优良的天数为$30×\frac{3}{5}=18$天．
（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3．且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
$P（{ξ=0}）={（{\frac{2}{5}}）^3}=\frac{8}{125}，P（{ξ=1}）=C_3^1\frac{3}{5}{（{\frac{2}{5}}）^2}=\frac{36}{125}，P（{ξ=2}）=C_3^2{（{\frac{3}{5}}）^2}\frac{2}{5}=\frac{54}{125}$，
$P（{ξ=3}）={（{\frac{3}{5}}）^3}=\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

E（ξ）=$0×\frac{8}{125}+1×\frac{36}{125}+2×\frac{54}{125}+3×\frac{27}{125}$=1.8．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．