Question

已知

a

，

b

是两个互相垂直的单位向量，且

c

•

a

=1，

c

•

b

=1，|

c

|=

2

，则对任意的正实数t，|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：用向量垂直的条件数量积为零，再利用模的平方等于向量的平方得到关于t的函数，函数的特点是乘积为定值，用基本不等式求最小值．

解答：解：∵

a

，

b

是两个互相垂直的单位向量
∴

a

•

b

=0
∴|

c

+t

a

+ 

1

t

b

|2=(

c

+t

a

+

1

t

b

)2=

c

2+t2

a

2+

1

t2

b

2+2(t

a

•

c

+

a

•

b

 +

1

t

b

•

c

)
=t2+

1

t2

+ 2t+

2

t

+2≥2+4+2=8
当且仅当t2=

1

t2

且  2t=

2

t

即t=1时取等号
故|c+ta+

1

t

b|的最小值为2

2

点评：向量求模的方法是根据模的平方等于向量的平方；用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等．