Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=t（t为非负常数），数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足S_n+1=3S_n
（Ⅰ）当t=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n+1=3S_n，可知数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即可得出S_n．当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）由（I）可得：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{t，n=1}\\{2nt•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．当n=1时，T₁=t．当n≥2时，T_n=t+2t（2+3×3+4×3²+…+n•3^n-2），再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）由S_n+1=3S_n，可知数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴S_n=3^n-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1-3^n-2=2×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）由（I）可得：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{t，n=1}\\{2nt•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴当n=1时，T₁=t．
当n≥2时，T_n=t+2t（2+3×3+4×3²+…+n•3^n-2），
3T_n=3t+2t[2×3+3×3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1]，
∴-2T_n=-2t+2t（2+3+3²+…+3^n-2-n•3^n-1）=-2t+2t$（1+\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}-n×{3}^{n-1}）$=t（1-2n）•3^n-1-t，
∴T_n=$\frac{（2n-1）t•{3}^{n-1}+t}{2}$．
当t=1时，上式也成立．
∴T_n=$\frac{（2n-1）t•{3}^{n-1}+t}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．