Question

6．已知a是实数，如果任意实数x都是不等式|x+1|+|x|-|x+a|＞0的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 令f（x）=|x+1|+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-1}\\{1，-1≤x＜0}\\{2x+1，x≥0}\end{array}\right.$，g（x）=|x+a|，则由题意可得函数f（x）的图象横在函数g（x）的图象的上方，数形结合求得a的范围．

解答 解：由题意可得不等式|x+1|+|x|＞|x+a|恒成立．
令f（x）=|x+1|+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-1}\\{1，-1≤x＜0}\\{2x+1，x≥0}\end{array}\right.$，g（x）=|x+a|，
则函数f（x）的图象横在函数g（x）的图象的上方，
A （0，1）、B（-1，1），
如图所示：
由题意可得-1＜-a＜0，
求得0＜a＜1．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．