Question

如图，已知A，B，C是表面积为48π的球面上的三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则二面角O-AB-C的大小为：（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  4

• C、arccos

  3

  3

• D、arccos

  33

  11

Answer 1

分析：先求出球的半径，BC的中点为O₁，取AB中点D，连OD、O₁D，则∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt△OO₁D中求出此角即可．

解答：解：球的半径为2

3

；△ABC为直角三角形，斜边BC是其外接圆的直径，
记BC的中点为O₁，则OO₁⊥面ABC，在Rt△OO₁B中，OB=2

3

，BO₁=2，
∴OO₁=2

2

；取AB中点D，连OD、O₁D，则AB⊥OD，AB⊥O₁D，
∴∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt△ABC中O₁D=

1

2

AC=

3

故在Rt△OO₁D中，OD=

11

，cos∠ODO₁=

3

11

，∴∠ODO₁=arccos

33

11

，
故选D．

点评：本小题主要考查球的表面积以及二面角的平面角及求法等有关知识，同时考查空间想象能力，计算能力，属于中档题．