Question

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|恒成立；
③函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）图象与直线y=kx有且只有一个公共点．
正确的命题的序号有

①②③⑤

．

Answer 1

分析：根据函数为奇函数，得到函数y=f（x）的图象是中心对称图形，故①正确；根据余弦函数的值域，结合不等式的性质，可以证出②正确；根据余弦函数的周期性，结合方程根的讨论可得③正确而④不正确；最后根据余弦函数的值域，结合方程根的讨论，可得⑤正确．

解答：解：对于①，因为f（-x）=-xcosx=-f（x），得函数是奇函数，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，是中心对称图形，故①正确；
对于②，因为cosx∈[-1，1]，所以f（x）=xcosx≤|x|对任意实数x恒成立，故②正确；
对于③，令f（x）=xcosx=x，得x=2kπ（k∈Z），可得f（x）的图象与y=x有无穷多个公共点，
且任意相邻两点的距离等于2π，故③正确；
对于④，令f（x）=xcosx=0，得x=0或x=

π

2

+kπ（k∈Z），可得f（x）的图象虽与x轴有无穷多个公共点，
但相邻交点的距离可能不相等，故④不正确；
对于⑤，令f（x）=kx，可得x=0或cosx=k，因为|k|＞1＞|cosx|，故方程cosx=k无实根，
故函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0），故⑤正确．
故答案为：①②③⑤

点评：本题给出特殊的函数表达式，要求我们讨论函数的图象与性质，着重考查了余弦函数的图象与性质、方程根的讨论和函数的奇偶性等知识，属于基础题．