Question

14．数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），数列{b_n}满足b_n+1=$\frac{1}{4}$b_n，且b₁=4
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n•log₂b_n，其前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出a_n．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）c_n=a_n•log₂b_n=（4-2n）•3ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）对于数列{a_n}有${S_n}=\frac{3}{2}（{a_n}-1）$①
${S_{n-1}}=\frac{3}{2}（{a_{n-1}}-1）{\;}_{\;}^{\;}（n≥2）$②
由①-②得${a_n}=\frac{3}{2}（{a_n}-{a_{n-1}}）即{a_n}=3{a_{n-1}}$，
当$n=1时，{S_1}=\frac{3}{2}（{a_1}-1）即{a_1}=3$，
则${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}=3•{3^{n-1}}={3^n}$．
对于数列{b_n}有：${b_{n+1}}=\frac{1}{4}{b_n}$，
可得${b_n}=4{（\frac{1}{4}）^{n-1}}={4^{2-n}}$．
（2）由（1）可知：${c_n}={a_n}•{log_2}{b_n}={3^n}•{log_2}{4^{2-n}}={3^n}•{log_2}{2^{4-2n}}={3^n}（4-2n）$．
T_n=2•3¹+0•3²+（-2）•3³+…+（4-2n）•3ⁿ，
3T_n=2•3²+0•3³+…+（6-2n）•3ⁿ+（4-2n）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=2•3+（-2）•3²+（-2）•3²…+（-2）•3ⁿ-（4-2n）•3ⁿ⁺¹
=6+（-2）（3²+3²+…+3ⁿ）-（4-2n）•3ⁿ⁺¹，
则T_n=$-3+\frac{{9（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}+（2-n）{3^{n+1}}=\frac{15}{2}+（\frac{5}{2}-n）•{3^{n+1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．