Question

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是椭圆+=1(a＞b＞0)上的两点,满足(,)·(,)=0,椭圆的离心率e=,短轴长为2，O为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;

(3)试问:三角形AOB的面积是否为定值?如果是,请写出推理过程;如果不是,请说明理由.

Answer 1

解：(1)由=3a²=4c²a²=4b²,

    又2b=2,∴b=1,a²=4.椭圆方程为:+x²=1.

(2)设直线AB的方程为:y=kx+c,代入椭圆方程并化简得:(k²+4)x²+2kcx+c²-4=0.

∴x₁+x₂=①.x₁·x₂=. ②

而+=0,∴x₁x₂+=0.

又y₁y₂=(kx₁+)(kx₂+)=k²x₁x₂+k·(x₁+x₂)+3,

∴(4+k²)x₁x₂+k·(x₁+x₂)+3=0.

    把①、②代入上式,并化简得:

k²=2,k=±.

(3)当直线AB的斜率存在时,设其方程为:y=kx+m,代入椭圆方程并整理得:(k²+4)x²+2kmx+m²-4=0.

x₁+x₂=,x₁·x₂=.∴(x₁-x₂)²=.

    又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²,

    且4x₁x₂+y₁y₂=0,∴2m²=k²+4,(x₁-x₂)²=,

∴S_△AOB=|m|·|x₁-x₂|=·|m|·=1.

    又当直线AB的斜率不存在时，S_△AOB=1,

∴S_△AOB为定值1.