Question

已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=4y相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是抛物线x²=4y在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）试比较|PM|与|PN|的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1．
由方程，消去y得x²-4kx+4=0． ①
∵直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，
∴△=16k²-16＞0，解得k＞1或k＜-1．
故直线l斜率的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）可以断定|PM|=|PN|．
解法1：∵x₁，x₂是方程①的两实根，
∴，∴x₁≠0，x₂≠0．
∵，∴．
∵，∴切线l₁的方程为．
令y=-1，得点M的坐标为．
∴．
同理，可得．
∵（x₁≠x₂）．
故|PM|=|PN|．
解法2：∵x₁，x₂是方程①的两实根，
∴，∴x₁≠0，x₂≠0．
∵，∴．
∵，
∴切线l₁的方程为．
令y=-1，得点M的坐标为．
同理可得点N的坐标为．
∵．
∴点P是线段MN的中点．
故|PM|=|PN|．
分析：（1）设出直线方程，代入抛物线方程，利用△＞0，可得直线l斜率的取值范围；
（2）确定M，N的坐标，解法一可求|PM|、|PN|，进而可得结论；解法二，利用点P是线段MN的中点，即可得到结论．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力．