Question

三角形ABC的顶点A（1，7），B（-4，2），重心G(

2

3

，

14

3

)．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）求三角形ABC外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由三角形的重心坐标公式，列式算出点C坐标为（5，5），从而得到向量

AC

、

AB

的坐标，利用三角形面积公式即可算出三角形ABC的面积；
（2）设经过A、B、C三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C的坐标可得关于D、E、F的方程组，解出D、E、F的值，即可得到△ABC外接圆的方程．

解答：解：（1）∵A（1，7），B（-4，2），重心G(

2

3

，

14

3

)．
∴设C的坐标为（m，n），由重心坐标公式可得

1

3

（1-4+m）=

2

3

，

1

3

（7+2+n）=

14

3

，解之得m=n=5，得点C（5，5），
∴

AB

=(-5，-5)，

AC

=(4，-2)，
因此，三角形ABC的面积为S=

1

2

|(-5)×(-2)-(-5)×4|=15
（2）设三角形ABC外接圆为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C三点的坐标，
得

1+49+D+7E+F=0 16+4-4D+2E+F=0 25+25+5D+5E+F=0

，解之得

D=-2 E=-4 F=-20

，
∴三角形ABC的外接圆方程为x²+y²-2x-4y-20=0．

点评：本题给出三角形的两个顶点和重心坐标，求三角形的面积并求外接圆的方程．着重考查了三角形的重心坐标公式、三角形面积公式和圆的一般方程等知识，属于基础题．