Question

斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁是底面边长为2的正三角形,顶点A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁与AB的夹角是45°.

（1）求证：AA₁⊥平面A₁BC；

（2）求此棱柱的侧面积.

Answer 1

（1）证明:∵点A₁在底面ABC上的射影O是正△ABC的中心，

∴A₁—ABC为正三棱锥，AA₁=A₁B=A₁C.

又∠A₁AB=45°，

∴∠AA₁B=∠AA₁C=90°，即AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C.

又A₁B∩A₁C=A₁，

∴AA₁⊥平面A₁BC.

（2）解析:连结AO并延长交BC于D，

∵O是正△ABC的中心，

∴AD⊥BC.

又AO是AA₁在底面ABC上的射影，

∴AA₁⊥BC〔由（1）知〕.

∵BB₁∥AA₁，

∴BB₁⊥BC.

∴BCC₁B₁是矩形.

在Rt△AA₁B中，AA₁=A₁B==BB₁，又BC=2，

∴=2=2，.

∴S_侧=2+.

小结：求斜棱柱的侧面积，可以求出每个侧面的面积相加，也可以求出直截面的周长和侧棱长计算其乘积.