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已知直线的方向向量为及定点,动点满足,,其中点N在直线l上.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.
【答案】分析:(1)由题意知:|MF|=|MN|,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,由此能求出轨迹方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2,所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,韦达定理知,当时,直线AB恒过定点(-8,0);当时,直线AB恒过定点
解答:解:(1)由题意知:|MF|=|MN|,
由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F(2,0)为焦点,
x=-2为准线,
所以轨迹方程为y2=8x;…(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得x1≠x2(否则α+β=π)且x1,x2≠0,
所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,
显然
将y=kx+b与y2=8x消去x,得ky2-8y+8b=0,由韦达定理知①…(6分)
(i)当时,即时,
tanα•tanβ=1,
所以
所以y1y2=64,由①知:,所以b=8k.
因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k,
即k(x+8)-y=0所以直线AB恒过定点(-8,0)…(8分)
(ii)当时,由α+β=θ,
得tanθ=tan(α+β)==,…(10分)
将①式代入上式整理化简可得:
所以
此时,直线AB的方程可表示为y=kx+

所以直线AB恒过定点
时,AB恒过定点(-8,0),当时,
AB恒过定点.…(12分)
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
练习册系列答案
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已知直线的方向向量为及定点,动点满足,
MN
+
MF
=2
MG
MG
•(
MN
-
MF
)=0
,其中点N在直线l上.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.

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 已知椭圆的对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,又点在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

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已知椭圆的对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,又点在椭圆上.

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