Question

已知△ABC，点M在边BC上，且

BM

=

1

2

MC

，过M作GH分别与射线AB，AC交于G，H，且

AG

=λ

AB

，

AH

=μ

AC

，则λ+μ的最小值是（　　）

• A、1+

  2 2

  3

• B、3+2

  2

• C、

  4 2

  3

• D、1-

  2

  2

Answer 1

考点：平行向量与共线向量

专题：导数的综合应用,平面向量及应用

分析：首先根据的向量的几何意义，利用P，M，Q三点共线，得出m，n的关系，分别令

1

μ

=x，

1

λ

=y，f（x）=λ+μ，得到关于x的函数关系式，在求导，根据导数求最小值．

解答： 解：如图，∵

BC

=

AC

-

AB

，

BM

=

1

2

MC

，
∴

BM

=

1

3

BC

=

1

3

（

AC

-

AB

），
∴

AM

=

AB

+

BM

=

1

3

AC

+

2

3

AB

，
∵

AG

=λ

AB

，

AH

=μ

AC

，
∴

AM

=

1

3μ

AH

+

2

3λ

AG

，
∵G，M，H三点共线，
∴

1

3μ

+

2

3λ

=1，
令

1

μ

=y，

1

λ

=x，
∴

y

3

+

2x

3

=1，
∴y=3-2x，
∵x＞0，y＞0
∴0＜x＜

3

2

，
令f（x）=λ+μ=

1

x

+

1

y

=

1

x

+

1

3-2x

，
∴f′（x）=

2

(3-2x)2

-

1

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

6-3 2

2

，或x=

6+3 2

2

＞

3

2

（舍去），
当x=

6-3 2

2

时，f（x）有最小值，
∴f（x）_min=1+

2 2

3

，
故选：A

点评：本题考查了向量的几何意义以及三点共线定理以及利用到导数来求函数的最小值问题，是一道综合题目，涉及知识点比较多，考查了化归思想，方程的思想．属于难题．