Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，
∴PA⊥平面ABCD-------（4分）
（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∵△PAB中，PE=2ED
∴AG=2GD，EG=PA=，------（5分）
连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．
∵OD⊥AC，GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，
∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D-AC-E的平面角．-----（6分）
∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．
由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．
∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值为-------（8分）
（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），
=（1，1，0），=（0，， ）---（9分）
设平面AEC的法向量=（x，y，z），根据数量积为零，可得
，即：，令y=1，得=（-1，1，-2 ）-------------（10分）
假设侧棱PC上存在一点F，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，则?=0．
又∵=+=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴?=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=，
所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．----------------（13分）
分析：（I）根据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；
（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线互相垂直，可证出∠EHG为二面角D-AC-E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最后由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．
（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，， ），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（-1，1，-2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，则=+=（-λ，1-λ，λ），且有?=0．所以?=λ+1-λ-2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．
点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．