Question

用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数,其中

(1)能被25整除的数有多少个?

(2)设x,y,z分别表示个位,十位,百位上的数字,满足x＜y＜z的数有多少个?

(3)偶数必须相邻的数有多少个?

Answer 1

解:(1)能被25整除的数的特征是后两位数是25的倍数，分两类讨论.

第一类:×××××25类型的七位数;

第二类:×××××50类型的七位数.

在第一类中,0是特殊元素,先安排0,再安排其他4个数,有N₁=4×=96个.

在第二类中,没有特殊元素,于是有N₂===120个.

根据分类计数原理,共有N=N₁+N₂=96+120=216个可以被25整除的七位数.

(2)百万位是特殊位置.

分两步完成:

第一步,先安排百万位上的数字,有6种方法;

第二步,对剩余的6个数进行排列.

又因为x＜y＜z,

所以有=6×5×4=120种.

根据分步计数原理,共有N=6×120=720个满足条件的七位数.

(3)采用间接法.

{偶数相邻的七位数}={偶数相邻的七个数的排列}-{0在首位且偶数相邻的七个数的排列}.

先求偶数相邻的排列数.

视偶数为“一”个元素与1,3,5进行排列,而后,0,2,4,6之间再进行内部调整,所以有·=576个.

再求0在首位且偶数相邻的排列数.

视偶数为“一”个元素与1,3,5进行排列,偶数必在1,3,5的左侧.而后,2,4,6之间再进行内部调整.

所以有·=36个.

所以偶数必须相邻的数共有N=576-36=540个.