Question

【题目】设，函数.

（1）当时，求在上的单调区间；

（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）增区间是 ，减区间是；（2）.

【解析】试题分析：（1）当时，求得，求导，令，则在是减函数，从而在上是减函数，进而得出在上的极大值，即可得到最大值；（2）由题意得可知，则，从而得不等式可化为，对任意的恒成立.通过讨论①当时，②当时，③时的情况，即可得出结论.

试题解析：（1）当时，

则，令，则

显然在区间内是减函数，又，在区间内，总有

在区间内是减函数，又当时，，

，此时单调递增；

当时，

，此时单调递减；

在区间内的极大值也即最大值是

（2）由题意，知，则

根据题意，方程有两个不同的实根

，即，且

，由

其中，得

所以上式化为

又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.

①当，不等式恒成立，；

②当时，恒成立，

令函数

显然是内的减函数，当，

③时，恒成立，即

由②，当，，即