Question

【题目】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为π，有以下命题：

①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．

②f(x)的极值点有且只有一个．

③f(x)的最大值与最小值之和等于零．

其中正确命题的序号为________．

Answer 1

【答案】①③.

【解析】分析：先根据已知条件，列出的方程组并解之得由此得到①是真命题；对函数进行求导运算，可得在区间[－2,2]上导数有两个零点，函数也就有两个极值点，故②为假命题；根据函数为奇函数，结合奇函数的图像与性质可得的最大值与最小值之和为零，故③为真命题，由此可得正确答案.

详解：因为函数

所以得

对函数求导数，得结合题意知

，解之得

对于①，函数解析式为故①是真命题;

对于②因为，在区间 [－2,2]上有两个零点，故的极值点有两个，得②为假命题.

对于③，因为函数为奇函数，所以若它在[－2,2]上的最大值为，则它的最小值为，所以的最大值与最小值之和为零，故命题③为真命题.

故本题答案为①③..